Cours sur les equations differentielles - Bacamaths
Costantini
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - MODÈLES D'ÉVOLUTION1. Introduction - Notion d'équation différentielle - Solution d'une équation différentielleUne équation différentielle est une équation :• dont l'inconnue est une fonction (généralement notée y ou z ou autre lettre)• dans laquelle apparaît certaines des dérivées de y (dérivée première y' ou dérivées d'ordre supérieur y", ...).Exemples : trouver mentalement, au moins une fonction solution sur , des équations différentielles suivantes :y' = sin(x) (y = -cos(x) + k où k ˛ )3xOn devrait, de manière plus y' = 3y (y = k e où k ˛ )cohérente noter l'équationx xdifférentielle y'(x) = sin x au lieu y' = 1 + e (y = x + e + k où k ˛ )de y' = sin x, mais la coutume axvoulu, qu'exceptionnellement, y' = y (y = k e où k ˛ )on tolère de ne pas écrire lavariable de la fonction y" = cos(x) (y = -cos(x) + ax + b où a, b ˛ )inconnue...x -x 2y" = y (y = A e + B e où (A, B) ˛ )Remarques :(1)• Rechercher les primitives d'une fonction continue ƒ sur un intervalle I, c'est résoudre, sur I, l'équationdifférentielle : y' = ƒ(x)• La notion d'intervalle dans la résolution d'une équation différentielle est fondamentale. Si on changed'intervalle, on peut très bien obtenir d'autre solutions. Par exemple, si on se place sur l'intervalle ]0, +¥[,1l'équation différentielle y' = a pour solutions les fonctions y : x a ln(x) + K (K est une constante).xAlors que sur l'intervalle ]-¥, 0[, les solutions sont les fonctions y : x ...