Extrait cours par correspondance de Mathématiques classe de Terminale S
...COURS DE TS MATHS - 1 ème24 SERIE ère1 SERIE Suites numériques LECON 1 : raisonnement par récurrence 1. Raisonnement par récurrence : principe Axiome : Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Soit n un entier naturel. 0Pour démontrer pour tout entier naturel n n que P(n) est vraie, il suffit de procéder en 0deux étapes : 1 - vérifier que P(n ) est vraie 02 - démontrer que si pour un entier naturel n n P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie. 0 L'hypothèse faite en 2, « P(n) est vraie pour un entier naturel n n » s'appelle 0l'hypothèse de récurrence. L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la proposition P est valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche, d'un rang au rang suivant. On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir gravir un escalier c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n’importe quelle marche à la suivante (étape 2). 2. Exemple de démonstration par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrées des n premiers nombres entiers en fonction de n, pour tout n entier naturel non nul : n n(n +1)(2n +1)2p = ∑ 6p =1 n n(n +1)(2n +1)2La proposition P à ...